题目

Problem

A particle $P$ moves in a straight line. The velocity $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ of $P$ at time $t\,\mathrm{s}$ , where $t\geqslant0$ , is given by

v=k_1(4t+11)^{\frac12}-\frac14(2t+1)^2+k_2,

where $k_1$ and $k_2$ are constants. When $t=1.25$ the deceleration of $P$ is $0.5\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

(a) Find the value of $k_1$ .

(4)

(b) Given that $P$ is only at instantaneous rest when $t=3.5$ , find the distance travelled by $P$ in the interval $0\leqslant t\leqslant1$ .

(5)

题目中文翻译

质点 $P$ 沿直线运动。在时刻 $t\,\mathrm{s}$ （其中 $t\geqslant0$ ）， $P$ 的速度为 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，由下式给出：

v=k_1(4t+11)^{\frac12}-\frac14(2t+1)^2+k_2,

其中 $k_1$ 和 $k_2$ 为常数。当 $t=1.25$ 时， $P$ 的减速度为 $0.5\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

(a) 求 $k_1$ 的值。

(4)

(b) 已知 $P$ 仅在 $t=3.5$ 时瞬时静止，求 $P$ 在区间 $0\leqslant t\leqslant1$ 内运动的路程。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ( $g$ ) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

对两项复合函数都用链式法则；减速度0.5在此对应加速度−0.5。

答题过程

展开

Differentiating the velocity,

a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} =2k_1(4t+11)^{-1/2}-(2t+1).

At $t=1.25$ , the acceleration is $-0.5\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ . Thus

\begin{align*} -0.5=&\,\frac{2k_1}{\sqrt{16}}-3.5,\\[4mm] \frac{k_1}{2}=&\,3,\\[4mm] k_1=&\,\boxed{6}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先由3.5秒静止确定k2。0至1内不反向且速度为正，路程等于速度的定积分。

答题过程

展开

At $t=3.5$ , $v=0$ , so

0=6\sqrt{25}-\frac14(8)^2+k_2, \qquad k_2=-14.

Therefore

v=6\sqrt{4t+11}-\frac14(2t+1)^2-14.

The velocity is continuous, and the only instant of rest is $t=3.5$ . Since $v(0)=6\sqrt{11}-14.25>0$ , it remains positive throughout $0\leq t\leq1$ . Hence the distance is

\begin{align*} d=&\,\int_0^1\bigl[6(4t+11)^{1/2}\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-\tfrac14(2t+1)^2-14\bigr]\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,\biggl[(4t+11)^{3/2}-\frac{(2t+1)^3}{24}-14t\biggr]_0^1\\[4mm] =&\,\biggl[15^{3/2}-\frac{27}{24}-14\biggr]\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-\biggl[11^{3/2}-\frac1{24}\biggr]\\[4mm] =&\,6.528544166\ldots\approx\boxed{6.53\text{ m}}. \end{align*}

CIE 9709 2026 June Paper 42 Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程