题目

Problem

A particle $P$ travels in a straight line, starting at rest from a point $O$ . The acceleration of $P$ at time $t\,\mathrm{s}$ after leaving $O$ is denoted by $a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ , where

\begin{align*} a=&\,0.3t^{\frac12} &&\text{for }0\le t\le4,\\ a=&\,-kt^{-\frac32} &&\text{for }4<t\le T, \end{align*}

where $k$ and $T$ are constants.

(a) Find the velocity of $P$ at $t=4$ .

(2)

(b) It is given that there is no change in the velocity of $P$ at $t=4$ and that the velocity of $P$ at $t=16$ is $0.3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

Show that $k=2.6$ and find an expression, in terms of $t$ , for the velocity of $P$ for $4\le t\le T$ .

(4)

(2)

(d) Find the total distance travelled between $t=0$ and $t=T$ .

(4)

题目中文翻译

质点 $P$ 从 $O$ 点由静止出发沿直线运动。离开 $O$ 后 $t\,\mathrm{s}$ 时， $P$ 的加速度记为 $a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ ，其中

\begin{align*} a=&\,0.3t^{\frac12} &&\text{当 }0\le t\le4,\\ a=&\,-kt^{-\frac32} &&\text{当 }4<t\le T, \end{align*}

其中 $k$ 和 $T$ 为常数。

(a) 求 $t=4$ 时 $P$ 的速度。

(2)

(b) 已知 $P$ 的速度在 $t=4$ 时没有变化，且 $t=16$ 时 $P$ 的速度为 $0.3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

证明 $k=2.6$ ，并求 $4\le t\le T$ 时 $P$ 的速度关于 $t$ 的表达式。

(4)

(2)

(d) 求从 $t=0$ 到 $t=T$ 之间经过的总路程。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ( $g$ ) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

积分第一段加速度，用静止出发确定常数。

答题过程

展开

For $0\le t\le4$ ,

v=\int0.3t^{1/2}\,\mathrm{d}t=0.2t^{3/2}+C.

Since $v(0)=0$ , $C=0$ . Therefore

\boxed{v(4)=0.2(4^{3/2})=1.6\,\mathrm{m\,s^{-1}}}.

(b)

解法一

思路

展开

第二段单独积分，由速度连续和16秒速度求两个常数，实际联立消元推出k。

答题过程

展开

For $t>4$ ,

v=\int-kt^{-3/2}\,\mathrm{d}t=2kt^{-1/2}+D.

Continuity at $t=4$ and the given velocity at $t=16$ give

1.6=k+D,\qquad0.3=\frac k2+D.

Subtracting gives $1.3=k/2$ , so $\boxed{k=2.6}$ and $D=-1$ . Hence

\boxed{v=5.2t^{-1/2}-1,\qquad4\le t\le T}.

解法二

思路

展开

也可直接对4到16秒积分加速度得到速度变化，先求k，再由4秒速度恢复整个速度表达式。

答题过程

展开

The velocity change from $t=4$ to $t=16$ is

\begin{align*} 0.3-1.6=&\,\int_4^{16}-kt^{-3/2}\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,\big[2kt^{-1/2}\big]_4^{16}\\[4mm] =&\,\frac k2-k. \end{align*}

Thus $\boxed{k=2.6}$ . For any $t\ge4$ ,

\begin{align*} v(t)-1.6=&\,\int_4^t-2.6\tau^{-3/2}\,\mathrm{d}\tau\\[4mm] =&\,5.2t^{-1/2}-2.6. \end{align*}

Therefore

\boxed{v(t)=5.2t^{-1/2}-1,\qquad4\le t\le T}.

(c)

解法一

思路

展开

在第二段速度式中令速度为零，精确保留T为分数。

答题过程

展开

At $t=T$ ,

5.2T^{-1/2}-1=0, \qquad\sqrt T=5.2=\frac{26}{5}.

Hence

\boxed{T=\frac{676}{25}}.

(d)

解法一

思路

展开

到首次静止之前速度非负，分别积分两段速度求路程，注意第二段积分起点4。

答题过程

展开

The velocity is non-negative until $t=T$ , so the total distance is

\begin{align*} D=&\,\int_0^4 0.2t^{3/2}\,\mathrm{d}t\\[4mm] &\,+\int_4^{676/25}(5.2t^{-1/2}-1)\,\mathrm{d}t. \end{align*}

The two contributions are

D_1=\big[0.08t^{5/2}\big]_0^4=2.56,

\begin{align*} D_2=&\,\big[10.4\sqrt t-t\big]_4^{676/25}\\[4mm] =&\,(10.4\cdot5.2-27.04)-(10.4\cdot2-4)\\[4mm] =&\,27.04-16.8=10.24. \end{align*}

Hence

\boxed{D=2.56+10.24=12.8\,\mathrm{m}}.

CIE 9709 2022 November Paper 42 Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程