质量为 $1.5\,\mathrm{kg}$ 和 $3\,\mathrm{kg}$ 的两个质点位于与水平面夹角为 $\alpha$ 的斜面上，其中 $\tan\alpha=\frac34$。斜面从 $A$ 到 $B$ 的部分光滑，从 $B$ 到 $C$ 的部分粗糙。$1.5\,\mathrm{kg}$ 的质点被保持在 $A$ 点静止，$3\,\mathrm{kg}$ 的质点在 $B$ 点处于极限平衡状态。距离 $AB$ 为 $x\,\mathrm{m}$，距离 $BC$ 为 $4\,\mathrm{m}$（见图）。

(a) 证明位于 $B$ 点的质点与斜面之间的摩擦系数为 $0.75$。

将 $1.5\,\mathrm{kg}$ 的质点从静止释放。在随后的运动中，两质点碰撞并合为一体。合并后的质点从 $B$ 运动到 $C$ 所需的时间为 $2\,\mathrm{s}$。合并后的质点与斜面之间的摩擦系数仍为 $0.75$。

(b) 求 $x$。

(c) 求从 $1.5\,\mathrm{kg}$ 的质点释放起，直到合并后的质点到达 $C$ 为止，两质点损失的总能量。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

由正切3/4求精确正弦和余弦，临界下滑时摩擦向上平衡重力分量。

Since $\tan\alpha=3/4$,

For the $3\,\mathrm{kg}$ particle at $B$,

At limiting equilibrium, $F=\mu R$. Therefore

先把到B的碰前速度表示为x，再守恒动量求碰后速度。粗糙段摩擦恰好平衡重力分量，故合体匀速，用四米两秒确定x。

On smooth $AB$, the acceleration is $10\sin\alpha=6$. If the speed just before collision is $u$,

Let the common speed after collision be $v$. Conservation of momentum gives

Thus

On $BC$, the acceleration is

Thus the combined particle has constant speed. Since it travels $4\,\mathrm{m}$ in $2\,\mathrm{s}$,

Hence $\sqrt{12x}=6$, giving

也可从粗糙段的已知时间倒推：合体先求速率2，动量给碰前6，再求光滑段长度。

For the combined particle on $BC$,

Its constant speed is therefore $v=4/2=2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Conservation of momentum at $B$ gives

On smooth $AB$, conservation of energy gives

Thus $9x=27$, so

总机械能损失等于两个粒子重力势能的总减少减最终动能；初始动能为零。原来在B的3千克粒子也下降4米斜面距离。

Taking the level of $C$ as zero potential energy, the initial potential energy is

The final kinetic energy is

Hence the total energy loss is