两个质点 $P$ 和 $Q$ 的质量分别为 $6\,\mathrm{kg}$ 和 $2\,\mathrm{kg}$，静止在粗糙水平面上，相距 $12.5\,\mathrm{m}$。每个质点与平面之间的摩擦系数均为 $0.4$。质点 $P$ 以 $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率向 $Q$ 抛出。

(a) 证明：$P$ 与 $Q$ 碰撞前瞬间的速率为 $10\sqrt3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

碰撞时，$P$ 和 $Q$ 结合成为质点 $R$。

(b) 求此次碰撞造成的动能损失。

$R$ 与平面之间的摩擦系数为 $0.4$。

(c) 求质点 $R$ 在静止前经过的距离。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

水平摩擦使P匀减速，加速度为负μg，再用速度平方关系推出目标值。

For $P$, the reaction is $6g$, so friction is $0.4(6g)$. Taking motion towards $Q$ as positive,

Over $12.5\,\mathrm{m}$,

Taking the positive root,

也可用摩擦做功等于动能减少，先求摩擦力24牛。

The friction force on $P$ is

The work-energy equation is

Hence $3v^2=900$, so

碰撞瞬间用动量守恒求共同速度，再计算碰撞前后动能差；不要把碰撞前摩擦造成的能量损失算进去。

Let the common speed immediately after collision be $u$. Conservation of momentum gives

The kinetic energies immediately before and after collision are

Thus the loss due to the collision is

合体质量增大，但摩擦引起的减速度仍为μg。用合体的碰后速度求停止距离。

For $R$, the acceleration is

If the stopping distance is $s$,

Therefore