题目

Problem

A particle $X$ travels in a straight line. The velocity of $X$ at time $t\,\mathrm{s}$ after leaving a fixed point $O$ is denoted by $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , where

v=-0.1t^3+1.8t^2-6t+5.6.

The acceleration of $X$ is zero at $t=p$ and $t=q$ , where $p<q$ .

(a) Find the value of $p$ and the value of $q$ .

(4)

It is given that the velocity of $X$ is zero at $t=14$ .

(b) Find the velocities of $X$ at $t=p$ and at $t=q$ , and hence sketch the velocity-time graph for the motion of $X$ for $0\leqslant t\leqslant15$ .

(3)

(5)

题目中文翻译

一个质点 $X$ 沿直线运动。离开固定点 $O$ 后 $t\,\mathrm{s}$ 时， $X$ 的速度记为 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，其中

v=-0.1t^3+1.8t^2-6t+5.6.

$X$ 在 $t=p$ 和 $t=q$ 时的加速度为零，其中 $p<q$ 。

(a) 求 $p$ 和 $q$ 的值。

(4)

已知 $X$ 在 $t=14$ 时的速度为零。

(b) 求 $X$ 在 $t=p$ 和 $t=q$ 时的速度，并由此画出 $X$ 在 $0\leqslant t\leqslant15$ 内运动的速度—时间图像的草图。

(3)

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ( $g$ ) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

求速度导数，因式分解加速度二次式，按p小于q排序。

答题过程

展开

Differentiating,

a=-0.3t^2+3.6t-6=-0.3(t^2-12t+20).

Thus $a=0$ gives

(t-2)(t-10)=0.

Since $p<q$ ,

\boxed{p=2,\qquad q=10}.

(b)

解法一

思路

展开

代入两个驻点求速度，结合加速度符号画平滑三次曲线。在t等于2处只是切触时间轴，不穿过。

答题过程

展开

At the stationary points,

\begin{align*} v(2)=&\,-0.1(8)+1.8(4)-12+5.6\\[4mm] =&\,\boxed{0\,\mathrm{m\,s^{-1}}}. \end{align*}

\begin{align*} v(10)=&\,-100+180-60+5.6\\[4mm] =&\,\boxed{25.6\,\mathrm{m\,s^{-1}}}. \end{align*}

The acceleration is negative for $0<t<2$ , positive for $2<t<10$ , and negative for $t>10$ . Sketch a smooth curve starting at $(0,5.6)$ , touching the $t$ -axis at the minimum $(2,0)$ , rising to the maximum $(10,25.6)$ , then crossing the axis at $(14,0)$ and reaching $(15,-16.9)$ . The change of curvature occurs at $t=6$ .

(c)

解法一

思路

展开

速度在2处不变号，14之后才为负。先积分0到14，再把14到15的负位移改成正路程。

答题过程

展开

The velocity factorises as

v=-0.1(t-2)^2(t-14).

Thus $v\ge0$ for $0\le t\le14$ and $v<0$ for $14<t\le15$ . An antiderivative is

S(t)=-0.025t^4+0.6t^3-3t^2+5.6t.

Its required values are

\begin{align*} S(0)=&\,0,\\[4mm] S(14)=&\,176.4,\\[4mm] S(15)=&\,168.375. \end{align*}

Hence the total distance is

\begin{align*} D=&\,[S(14)-S(0)]-[S(15)-S(14)]\\[4mm] =&\,176.4+8.025\\[4mm] =&\,\boxed{184.425\,\mathrm{m}}. \end{align*}

CIE 9709 2023 November Paper 42 Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程