一根轻绳 $AB$ 固定于 $A$ 点，并在 $B$ 点连接一个重力为 $80\,\mathrm{N}$ 的质点。在 $B$ 点施加一个大小为 $P\,\mathrm{N}$ 的水平力，使绳与竖直方向成 $\theta^\circ$ 角（见图）。

(a) 已知 $P=32$，且系统处于平衡状态。

求绳的张力及 $\theta$ 的值。

(b) 若改为已知绳的张力为 $120\,\mathrm{N}$，且连接于 $B$ 点的质点的重力仍为 $80\,\mathrm{N}$。

求 $P$ 和 $\theta$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

沿水平、竖直方向分解张力。角相对竖直，因此水平分量用正弦。

Equilibrium gives

Squaring and adding, and then dividing,

Thus

沿绳及其垂直方向分解，先求角，再求张力。

Resolving perpendicular to the string,

Thus $\theta\approx21.801409\ldots^\circ$. Resolving parallel to the string,

Therefore

三个力组成闭合直角三角形，已知两条直角边，勾股定理求斜边张力。

In the closed triangle of forces, the $80\,\mathrm{N}$ and $32\,\mathrm{N}$ sides are perpendicular and the tension is the hypotenuse. Thus

Hence

也可对力三角形用正弦定理，注意各边对应的角。

The sine rule in the triangle of forces gives

Thus $32/\sin\theta=80/\cos\theta$, so $\tan\theta=32/80$. Therefore

Using $\cos\theta=5/\sqrt{29}$,

张力改为120后重新用竖直平衡求角，再用水平平衡求P。

The equilibrium equations are

Since the angle is acute,

Using the unrounded angle,

沿绳与垂直绳方向分解也可联立求解，利用垂直方程先表示P再代入。

Resolving perpendicular and parallel to the string gives

The first gives $P=80\tan\theta$. Substituting into the second,

Thus $\cos\theta=2/3$, giving

力三角形现已知斜边120和一条直角边80，可用勾股定理求P。

In the right-angled force triangle,

Thus

The angle satisfies $\cos\theta=80/120$, so

沿用正弦定理，但替换成这次给定的张力120。

The sine rule in the triangle of forces gives

Thus $\cos\theta=80/120=2/3$, giving