一个质量为 $7.5\,\mathrm{kg}$ 的质点，从 $A$ 由静止开始沿斜面 $AB$ 下滑。如图所示，点 $B$ 比 $A$ 所在的水平面竖直低 $12.5$ 米。

(a) 已知斜面光滑，使用能量方法求质点在 $B$ 处的速率。

(b) 现在改为已知斜面粗糙，且质点以 $8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率到达 $B$。斜面长 $25\,\mathrm{m}$，恒定摩擦力的大小为 $F\,\mathrm{N}$。

求 $F$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

题目要求能量法。光滑面支持力不做功，减少的重力势能全部转为动能。

By conservation of mechanical energy,

Thus $v^2=250$. Taking the positive root,

有摩擦时，势能损失分为末动能与克服摩擦所做的功，摩擦的作用距离是斜面长25米。

The work-energy equation is

Therefore

也可先从速度与路程求沿面的加速度，再沿面列牛顿第二定律。斜角正弦等于竖直落差除以斜面长。

Let the acceleration down the plane be $a$. Then

If the inclination is $\beta$, then $\sin\beta=12.5/25=1/2$. Resolving down the plane,

Thus