一个质点 $A$ 从点 $O$ 以 $80\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率竖直向上发射。一秒后，另一个与 $A$ 质量相同的质点 $B$ 从 $O$ 以 $100\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率竖直向上发射。第一个质点发射后 $T\,\mathrm{s}$ 时，两个质点碰撞并粘合，形成质点 $C$。

(a) 证明 $T=3.5$。

(b) 求质点碰撞时在 $O$ 上方的高度。

(c) 求从 $A$ 发射至 $C$ 返回 $O$ 所经历的时间。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

注意B晚出发一秒，到碰撞时它的运动时间是T减一。两者碰撞时高度相同，展开并消去平方项。

Taking upwards as positive, the heights at time $T$ are

Equating heights and expanding,

Hence

把碰撞时间代入A的高度公式，保留未舍入的高度供下一问使用。

The collision height is

先分别求碰前速度，用动量守恒求粘合后的速度。随后从碰撞点做竖直抛体运动，求回到O所需时间，最后加上碰撞前3.5秒。

The velocities immediately before collision are

in $\mathrm{m\,s^{-1}}$, both upwards. If each original mass is $m$, conservation of momentum gives

Let $\tau$ be the time after collision until $C$ reaches $O$. Then

so

The negative root is inadmissible. The total time from projection of $A$ is