一辆汽车的质量为 $1200\,\mathrm{kg}$。当汽车以 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率行驶时，受到大小为 $kv\,\mathrm{N}$ 的阻力。汽车发动机的最大功率为 $92.16\,\mathrm{kW}$。

(a) 汽车沿水平直路行驶。

(i) 汽车能够维持的最大恒定速率为 $48\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

证明 $k=40$。

(ii) 在汽车速率为 $45\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的某一瞬间，求汽车的最大可能加速度。

(b) 现在汽车以恒定速率沿一条与水平面成 $\sin^{-1}0.15$ 角的山坡上行。

求汽车上坡时的最大可能速率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

最高恒速时合力为零，推力等于kv，发动机已达到最大功率。

At the greatest constant speed, the driving force equals the resistance. Therefore

给定速率下最大推力等于最大功率除以速率，再扣除阻力求合力。

At speed $45\,\mathrm{m\,s^{-1}}$, the greatest driving force is

Newton’s second law gives

Hence

匀速上坡时推力需平衡阻力及重力沿坡分量。用最大功率建立速度的二次方程，只保留正根。

Let the greatest constant speed be $v>0$. The driving force is

At maximum power,

Thus

and the positive root is

The other root is negative and cannot represent the speed.