图中两个质点 $A$ 和 $B$ 的质量分别为 $0.2\,\mathrm{kg}$ 和 $0.1\,\mathrm{kg}$。两质点由两根绳 $AP$ 和 $BQ$ 悬挂在水平天花板下方，两绳分别连接到天花板上的固定点 $P$ 和 $Q$。两质点由一根水平绳 $AB$ 连接。角 $APQ=45^\circ$，角 $BQP=\theta^\circ$。每根绳均轻且不可伸长。两质点处于平衡状态。

(a) 求绳 $AB$ 中张力的大小。

(b) 求 $\theta$ 的值和绳 $BQ$ 中张力的大小。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

对A分别沿水平及竖直方向平衡，利用45度的正弦、余弦相同消去AP张力。

Let the tensions in $AP$ and $AB$ be $S$ and $H$. Equilibrium of $A$ gives

Since $\sin45^\circ=\cos45^\circ$,

对A的三个平衡力使用Lami定理。水平张力与重力各自所对的夹角同为135度。

At $A$, the angle between $AP$ and the downward weight is $135^\circ$, as is the angle between $AP$ and $AB$. By Lami’s theorem,

Hence

对B沿水平、竖直方向平衡。不同的绳不必具有同样张力。

Let the tension in $BQ$ be $T$. Equilibrium of $B$ gives

Dividing the equations and then squaring and adding,

Therefore

改沿BQ及其垂直方向分解。垂直方向先求角，再沿绳求张力。

Resolving the forces on $B$ perpendicular to $BQ$,

Thus $\theta=26.565051\ldots^\circ$. Resolving parallel to $BQ$,

Hence

把B所受三个力首尾相接成为直角力三角形，用勾股定理及三角比。

For $B$, the closed triangle of forces has perpendicular sides $2\,\mathrm{N}$ and $1\,\mathrm{N}$, and hypotenuse $T_{BQ}$. Therefore

Thus

用Lami定理。BQ张力所对夹角为90度，其余两项可化为角的正弦、余弦。

Applying Lami’s theorem to $B$ gives

Thus $1/\sin\theta=2/\cos\theta$, giving $\tan\theta=1/2$. Since $\theta$ is acute, $\sin\theta=1/\sqrt5$. Hence

也可把两个粒子作为整体，AB张力成为内力而消去。先从A求AP张力的分量，再列整体平衡。

From vertical equilibrium of $A$,

Resolving on the whole system, the internal tensions in $AB$ cancel:

Therefore

Hence