题目

Problem

A particle, $P$ , travels in a straight line, starting from a point $O$ with velocity $6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . The acceleration of $P$ at time $t\,\mathrm{s}$ after leaving $O$ is $a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ , where

\begin{align*} a=&\,-1.5t^{\frac12} &&\text{for }0\leqslant t\leqslant1,\\ a=&\,1.5t^{\frac12}-3t^{-\frac12} &&\text{for }t>1. \end{align*}

(a) Find the velocity of $P$ at $t=1$ .

(3)

(b) Given that there is no change in the velocity of $P$ when $t=1$ , find an expression for the velocity of $P$ for $t>1$ .

(3)

(c) Given that the velocity of $P$ is positive for $t\leqslant4$ , find the total distance travelled between $t=0$ and $t=4$ .

(4)

题目中文翻译

质点 $P$ 沿直线运动，从点 $O$ 出发时的速度为 $6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。离开 $O$ 后 $t\,\mathrm{s}$ 时， $P$ 的加速度为 $a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ ，其中

\begin{align*} a=&\,-1.5t^{\frac12} &&\text{当 }0\leqslant t\leqslant1,\\ a=&\,1.5t^{\frac12}-3t^{-\frac12} &&\text{当 }t>1. \end{align*}

(a) 求 $t=1$ 时 $P$ 的速度。

(3)

(b) 已知 $t=1$ 时 $P$ 的速度没有发生变化，求 $t>1$ 时 $P$ 的速度表达式。

(3)

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ( $g$ ) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

对第一段加速度积分，并用初速度确定常数。

答题过程

展开

For $0\le t\le1$ ,

v=\int-1.5t^{1/2}\,\mathrm{d}t =-t^{3/2}+C.

Since $v(0)=6$ , $C=6$ . Hence

\boxed{v(1)=-1+6=5\,\mathrm{m\,s^{-1}}}.

(b)

解法一

思路

展开

对第二段单独积分，积分常数由t等于1时速度连续确定，不能照搬第一段的常数。

答题过程

展开

For $t>1$ ,

v=t^{3/2}-6t^{1/2}+C.

Continuity of velocity at $t=1$ gives

5=1-6+C,\qquad C=10.

Thus

\boxed{v=t^{3/2}-6t^{1/2}+10,\qquad t>1}.

(c)

解法一

思路

展开

题目保证速度为正，因此路程等于位移。两段用各自速度式作定积分，相加即可。

答题过程

展开

Since the velocity is positive throughout the given interval,

\begin{align*} D=&\,\int_0^1(6-t^{3/2})\,\mathrm{d}t\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\int_1^4(t^{3/2}-6t^{1/2}+10)\,\mathrm{d}t. \end{align*}

The two contributions are

D_1=\bigg[6t-\frac25t^{5/2}\bigg]_0^1=\frac{28}{5},

\begin{align*} D_2=&\,\bigg[\frac25t^{5/2}-4t^{3/2}+10t\bigg]_1^4\\[4mm] =&\,\bigg(\frac{64}{5}-32+40\bigg) -\bigg(\frac25-4+10\bigg)\\[4mm] =&\,\frac{72}{5}. \end{align*}

Therefore

D=\frac{28}{5}+\frac{72}{5}=\boxed{20\,\mathrm{m}}.

CIE 9709 2024 November Paper 42 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程