质量分别为 $3\,\mathrm{kg}$ 和 $5\,\mathrm{kg}$ 的两个质点 $P$ 和 $Q$ 静止在光滑水平面上。$P$ 以 $4\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率直接朝 $Q$ 发射。$P$ 与 $Q$ 碰撞后，$P$ 的速率为 $1\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(a) 求碰撞后 $Q$ 的两种可能速率。

已知碰撞过程中损失了 $\lambda\,\mathrm{J}$ 的动能，其中 $\lambda>0$。

(b) 求 $\lambda$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

P碰后速率1但方向未知，分别把其速度取+1和−1列动量守恒。

Take $P$‘s initial direction as positive. If $P$ continues forwards after impact, conservation of momentum gives

If $P$ rebounds,

Thus the two possible speeds of $Q$ are

先检查两种情况的动能；题设损失严格为正，排除零损失情形。

The initial kinetic energy is

If $Q$ has speed $3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$, the final kinetic energy is

which gives zero loss and is excluded by $\lambda>0$.

For $Q$‘s speed of $1.8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$,

Hence