质量为 $m\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 在一个与水平面成 $\theta^\circ$ 角的粗糙斜面上处于平衡状态。一个大小为 $8mg\,\mathrm{N}$、与一条最大坡度线成 $\theta^\circ$ 角的力维持着 $P$ 的平衡（见图）。$P$ 与斜面之间的摩擦系数为 $0.5$，且 $P$ 处于即将沿斜面向下滑动的状态。

求 $\theta$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

即将下滑，摩擦沿坡向上。外力既有沿坡向下的分量，也压向斜面增加正压力。

Let $R$ be the normal contact force and $F$ the friction. Since the particle is on the point of slipping down the plane, friction acts up the plane and $F=0.5R$.

Resolving parallel to the plane,

Resolving perpendicular to the plane,

Substituting into $F=0.5R$ and cancelling $mg>0$,

Since $\theta$ is the acute angle of inclination,