质量为 $0.1\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 从水平地面以 $30\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率竖直向上发射。在同一瞬间，质量为 $0.4\,\mathrm{kg}$ 的质点 $Q$ 从距地面 $15\,\mathrm{m}$ 的高度，以 $10\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率竖直向上发射。$P$ 和 $Q$ 在同一条竖直线上运动。

(a) 求 $P$ 与 $Q$ 碰撞时离地的高度。

$P$ 与 $Q$ 碰撞时粘合在一起。

(b) 求合成质点到达地面瞬间的速率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

用离地高度建立两条运动方程，Q初始高度15不能漏掉；同样重力项相消。

Taking upwards as positive, the heights after $t$ seconds are

At collision $h_P=h_Q$, so

The height is therefore

先算碰前两速度，用动量守恒得粘合后速度；随后运动至地面用v²公式。

Immediately before collision, both particles are moving upwards:

Conservation of momentum gives the combined particle’s upward velocity $V$:

From the collision point to the ground the upward displacement is $-315/16$ metres and the acceleration is $-10$. Hence the final speed $v$ satisfies

Therefore