题目

Problem

A particle starts from rest at a point $O$ . The acceleration of the particle at time $t\,\mathrm{s}$ after leaving $O$ is $a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ , where

a=2(t+1)^{-\frac12}-1\quad\text{for }t\geqslant0.

Find the distance that the particle travels from $O$ until the time at which its acceleration is zero.

(8)

题目中文翻译

一个质点从点 $O$ 由静止开始运动。离开 $O$ 后 $t\,\mathrm{s}$ 时，质点的加速度为 $a\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ ，其中

a=2(t+1)^{-\frac12}-1\quad (t\geqslant0).

求质点从 $O$ 出发至加速度为零的时刻所运动的路程。

(8)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ( $g$ ) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

解答

解法一

思路

展开

先求加速度零的时刻3。积分加速度后用初速度确定常数，再积分速度求0到3的位移；此段速度非负。

答题过程

展开

The acceleration is zero when

\begin{align*} \frac2{\sqrt{t+1}}-1=&\,0,\\[4mm] t+1=&\,4,\\[4mm] t=&\,3. \end{align*}

Integrating the acceleration,

v=4\sqrt{t+1}-t+C.

Since $v=0$ at $t=0$ , $0=4+C$ , giving

v=4\sqrt{t+1}-t-4.

For $0\leq t\leq3$ , $a\geq0$ , so the velocity increases from zero and there is no reversal. The distance is therefore

\begin{align*} d=&\,\int_0^3\bigl[4\sqrt{t+1}-t-4\bigr]\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,\biggl[\frac83(t+1)^{3/2}-\frac12t^2-4t\biggr]_0^3\\[4mm] =&\,\biggl[\frac83(8)-\frac92-12\biggr]-\frac83\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{13}{6}\text{ m}}. \end{align*}

CIE 9709 2025 November Paper 42 Q6

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解答

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