一辆摩托车的发动机能够产生的最大功率为 $105\,\mathrm{kW}$。摩托车与骑手的总质量为 $400\,\mathrm{kg}$。摩托车与骑手运动所受的总阻力为 $cv\,\mathrm{N}$，其中 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 是骑手的速率，$c$ 为常数。

骑手在水平直路上以发动机的最大功率行驶。当骑手的速率为 $35\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 时，他的加速度为 $0.5\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

(a) 证明 $c=80$。

骑手现在以发动机的最大功率沿直山坡上行。山坡与水平面的夹角为 $\sin^{-1}\big(\frac{3}{20}\big)$。

(b) 求骑手沿山坡上行时的稳定速率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

105kW换成W，用P=Fv求牵引力，再把速度35代入阻力cv。

At $35\,\mathrm{m\,s^{-1}}$, the driving force is

Newton’s second law along the horizontal road gives

as required.

稳速上坡合力零，但阻力仍随速度变。乘正速率v后解二次方程并舍负根。

At steady speed $v>0$, the driving force balances the resistance and downslope weight component:

Thus

The roots are

Rejecting the negative root, the speed is