质量为 $m\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 和质量为 $2\,\mathrm{kg}$ 的质点 $Q$ 可在光滑水平面上自由运动。$P$ 和 $Q$ 分别以 $u\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 和 $3u\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率迎面相向运动。$P$ 与 $Q$ 发生碰撞，碰撞使两个质点的运动方向均反转。碰撞后紧接着 $P$ 的速率为 $\frac{u}{3}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(a) 用 $m$ 和 $u$ 表示碰撞后 $Q$ 的速度，并由此证明 $m>4.5$。

随后 $Q$ 撞上一面与其运动方向垂直的竖直墙壁。$Q$ 撞墙后的速率是撞墙前速率的四分之一。$P$ 与 $Q$ 之间不再发生碰撞。

(b) 已知 $m$ 为整数，确定 $m$ 的最大可能值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

取P原方向为正，碰后P为负、Q反向为正；动量守恒给Q速度，再用正值限制质量。

Take $P$‘s initial direction as positive, and let $v$ be $Q$‘s velocity after the collision. Conservation of momentum gives

Hence

Since $Q$ reverses its original negative direction, $v>0$. As $u>0$,

Q撞墙后与P同向，Q位于后方；为不追上P，Q回弹速率不能大于u/3，等速也不会相遇。

After hitting the wall, $Q$ reverses again and has speed

It now moves in the same direction as $P$ and is behind it. For no further collision, $Q$ must not be faster than $P$:

Cancelling $u>0$ gives

Together with $m>4.5$, this gives $4.5<m\leq6.5$. Since $m$ is an integer, its largest possible value is $\boxed{6}$.