一个质量为 $6\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 位于粗糙斜面上，斜面与水平面成锐角 $\theta$。一个大小为 $12\,\mathrm{N}$ 的水平力作用于 $P$，如图所示。该水平力的作用线位于一个竖直平面内，该竖直平面包含斜面上经过 $P$ 的最大坡度线。$P$ 与斜面之间的摩擦系数为 $\mu$。

$P$ 处于平衡状态，且恰好即将沿斜面向下滑动。

(a) 证明 $\mu=\frac{5\tan\theta-1}{5+\tan\theta}$。

(b) 由此求 $\theta$ 的可能取值集合。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

即将下滑，摩擦沿坡向上。水平力既帮助上坡也压向斜面，分别列平行、垂直平衡。

Let $F$ be the friction and $R$ the normal contact force. Friction acts up the plane, and at limiting equilibrium $F=\mu R$.

Resolving perpendicular to the plane,

Resolving parallel to the plane,

Therefore

Since $\theta$ is acute, $\cos\theta>0$. Dividing numerator and denominator by $\cos\theta$ gives

as required.

粗糙接触摩擦系数为正；锐角保证分母正，故只需分子正，再合并锐角范围。

For a rough plane, $\mu>0$. Since $0<\theta<90^\circ$, the denominator $5+\tan\theta$ is positive. Hence

Thus the possible angles satisfy

with the lower boundary approximately $11.3^\circ$.