一名运动员沿水平直路跑步。运动员从静止开始以 $0.5\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 的加速度加速，达到 $V\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率。运动员以 $V\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的速率保持运动 $T\,\mathrm{s}$，然后以 $0.2\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 的减速度减速至静止。运动员在 $246$ 秒内跑过的总路程为 $1350\,\mathrm{m}$。

(a) 画出运动员运动的速度—时间图的草图。

(b) 用 $V$ 表示 $T$，并由此证明 $7V^2-492V+2700=0$。

(c) 求 $V$ 的值，并说明答案的理由。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

图是先上升、后水平、再下降到零的梯形；总时间246秒，最大速度V。

Draw a velocity-time graph with axes labelled $t\,(\mathrm{s})$ and $v\,(\mathrm{m\,s^{-1}})$. Join the points

with straight segments. Label the maximum velocity $V$ and the final time $246$; the initial gradient is $0.5$ and the final gradient is $-0.2$.

先用三段运动时间之和求T，再用速度图的面积表示总路程。

The acceleration and deceleration times are

Since the total time is $246\,\mathrm{s}$,

The area under the graph is the total distance, so

Multiplying by $2$ and rearranging gives

as required.

也可先用梯形面积求T，再把它代入总时间关系。

The trapezium has parallel sides of lengths $246$ and $T$, and height $V$. Thus

The times spent accelerating and decelerating are $2V$ and $5V$. Hence

Since $V>0$, multiplication by $V$ gives

解二次方程后必须检查匀速阶段的时间不能为负，不能只挑较小的根。

Factoring the equation from (b),

The roots are $V=6$ and $V=450/7$. If $V=450/7$, then

which is impossible. For $V=6$, $T=246-42=204>0$. Therefore $\boxed{V=6}$.