如图所示，质量为 $6\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 位于与水平面成 $30^\circ$ 角的粗糙斜面上。两根不可伸长的轻绳与 $P$ 相连。绳子绕过固定在斜面两端的小光滑滑轮。绳子非竖直的部分平行于斜面的最大坡度线。质点 $Q$ 和 $R$ 的质量分别为 $5\,\mathrm{kg}$ 和 $2\,\mathrm{kg}$，分别竖直悬挂在绳子的末端。

两根绳子均绷紧，系统从静止释放。

已知连接 $Q$ 的绳子的张力是连接 $R$ 的绳子的张力的两倍。

(a) 用 $g$ 表示每根绳子的张力以及各质点加速度的大小。

(b) 求 $P$ 与斜面之间的摩擦系数。

(c) 已知系统从静止释放时，$P$ 位于斜面的中点。在随后的运动中，$R$ 未到达斜面顶端的滑轮，而 $P$ 用 $1.5\,\mathrm{s}$ 到达斜面底端的滑轮。

求斜面的总长度。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

设Q向下、R向上，三粒子加速度大小相同。对两悬挂粒子列方程，并用张力比消元；计算出的正加速度验证所取方向。

Let $T$ be the tension in $PR$, so that the tension in $PQ$ is $2T$. Take $Q$ downwards, $R$ upwards and $P$ down the slope as the positive directions, with common acceleration magnitude $a$.

Newton’s second law for $Q$ and $R$ gives

From the second equation $T=2g+2a$. Substitution into the first gives

This is positive, confirming the chosen directions. Therefore

The tensions are in newtons and the acceleration is in $\mathrm{m\,s^{-2}}$.

P向下滑，摩擦力沿坡向上。对P单独列牛顿第二定律，求摩擦力，再除以支持力。

Let the friction on $P$ have magnitude $f$. Its normal reaction is

Resolving down the plane for $P$,

Hence

Using $f=\mu N$,

把三粒子作为整体，内部张力抵消。沿运动方向求重力总驱动分量，再扣除摩擦力。

For the combined system, the mass is $5+6+2=13\,\mathrm{kg}$. Taking the directions of motion as positive, the net driving weight component is

The tensions cancel internally, so Newton’s second law gives

Since the normal reaction on $P$ is $N=6g\cos30^\circ=3\sqrt3g$,

P从中点到下端的距离是斜面长度一半。先用初速零与加速度求这段距离，再乘二。

Let the total length of the plane be $L$. Since $P$ starts at the midpoint, it travels $L/2$ before reaching the bottom pulley. Using $g=10$,

Hence $\boxed{L=2.5\,\mathrm{m}}$.

也可先求1.5秒后的共同速率，再对整个系统用功—能关系求从中点移动的距离。

At $t=1.5$, the common speed is

Let $d$ be the distance moved by each particle. The net external work on the combined system is

This equals the gain in kinetic energy:

Thus $d=g/8=1.25\,\mathrm{m}$, and the total plane length is $2d=\boxed{2.5\,\mathrm{m}}$.