已知一条曲线的方程为 $y=k(3x-k)^{-1}+3x$，其中 $k$ 为常数。

(a) 用 $k$ 表示曲线存在驻点时 $x$ 的值。

函数 $\mathrm{f}$ 在 $x=a$ 处有一个驻值，其定义为

(b) 求 $a$ 的值，并判断该驻值的性质。

(c) 函数 $\mathrm{g}$ 定义为 $\mathrm{g}(x)=-(3x+1)^{-1}+3x$，其中 $x\ge0$。

判断 $\mathrm{g}$ 是增函数、减函数还是两者皆非，并清楚说明理由。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

对倒数项用链式法则。令导数为零后，还要判断平方等式何时有实根，并避开分母为零处。

On the domain $3x-k\ne0$,

Thus a stationary point requires $(3x-k)^2=k$. If $k>0$, the two valid values are

If $k<0$, the square cannot equal $k$. If $k=0$, the derivative on its domain is $3$, so there are no stationary points in either case $k\le0$.

代入 $k=4$ 后，用给定定义域筛选横坐标。最后用二阶导数判定极值性质。

The candidates from (a) are $x=(4\pm2)/3$, namely $2$ and $2/3$. Only $2$ is in $x\ge3/2$, so $a=2$. We have $\mathrm f''(x)=72(3x-4)^{-3}$, giving $\mathrm f''(2)=9>0$. Therefore the stationary value is a local minimum.

直接求导。在整个定义域中检查两项的符号。

The derivative is $\mathrm g'(x)=3+3/(3x+1)^2$. This is positive for every $x\ge0$, so $\mathrm g$ is increasing.

也可直接比较任意两个自变量对应的函数值。把差式通分，利用定义域判断正负。

For any $0\le u<v$,

Both denominator factors and $v-u$ are positive, so $\mathrm g$ is increasing on its domain.