一条曲线在点 $(4,-1)$ 处的斜率为 $-\dfrac{3}{2}$。已知 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x^{-\frac{1}{2}}+k$，其中 $k$ 为常数。

(a) 证明 $k=-2$。

(b) 求曲线的方程。

(c) 求驻点的坐标。

(d) 确定驻点的类型。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

把已知点的横坐标和斜率代入导数式。

At $x=4$, the derivative is $4^{-1/2}+k=1/2+k$. Equating it to $-3/2$ gives $k=-2$.

积分后用点 $(4,-1)$ 确定常数。

Integrating $x^{-1/2}-2$ gives $y=2\sqrt x-2x+C$. Substituting $(4,-1)$ gives $-1=4-8+C$, so $C=3$. The curve is $y=2\sqrt x-2x+3$.

令一阶导数为零，先求正的平方根，再代入曲线方程。

At a stationary point, $x^{-1/2}-2=0$, so $\sqrt x=1/2$ and $x=1/4$. The height is $2(1/2)-2(1/4)+3=7/2$. Thus the point is $(1/4,7/2)$.

用二阶导数在驻点的符号判断极值性质。

The second derivative is $-\tfrac12x^{-3/2}$. At $x=1/4$ it equals $-4<0$, so the stationary point is a local maximum.