图中显示了圆心为 $C(-4, 5)$、半径为 $\sqrt{20}$ 个单位的圆。该圆与 $y$ 轴相交于点 $A$ 和 $B$。角 $ACB$ 的大小为 $\theta$ 弧度。

(a) 求该圆在点 $(-6, 9)$ 处的切线方程。

(b) 求该圆的方程，并写成 $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ 的形式。

(c) 求 $\theta$ 的值，精确到 4 位有效数字。

(d) 求图中阴影弓形的周长和面积。

圆心到切点的连线与切线垂直。先算半径的斜率，再取负倒数。

The radius from $(-4,5)$ to $(-6,9)$ has slope $(9-5)/(-6+4)=-2$. The tangent slope is $1/2$, so its equation is $y-9=\frac12(x+6)$, or $y=\frac12x+12$.

把圆心和半径代入圆的标准式，再展开并把常数移到左边。

The equation $(x+4)^2+(y-5)^2=20$ expands to

弦 $AB$ 在 $y$ 轴上，弦中点和圆心组成一个直角三角形。用半弦长除以圆心到弦的距离求半角。

When $x=0$, $(y-5)^2=4$, so the intercepts have $y=3$ and $y=7$. Their midpoint is $(0,5)$, which is $4$ units from the centre, and the half-chord length is $2$. Thus

radians to four significant figures.

也可以用三边直接求圆心角。两腰都是半径，底边是两个纵截距的差。

In triangle $ACB$, the sides are $\sqrt{20}$, $\sqrt{20}$ and $4$. Thus

giving $\theta=0.9273$ radians to four significant figures.

周长由弦和弧组成。面积由扇形减去三角形得到，角度使用 (c) 的未舍入值。

The perimeter is $4+\sqrt{20}\,\theta\approx8.15$ units. The sector area is $\frac12(20)\theta=10\theta$, and the triangle area is $\frac12(4)(4)=8$. Thus the shaded area is $10\theta-8\approx1.27$ square units.