图中显示了曲线

其中 $x > 0$。该曲线与 $x$ 轴相交于点 $A$ 和 $B$，并有一个极小点 $M$。

(a) 求 $M$ 的精确坐标。

(b) 求由曲线和线段 $AB$ 围成区域的面积。

直接对两个负指数项求导。提出共同的幂后，只需解关于 $x^{1/3}$ 的一次方程。

For $x>0$,

This changes from negative to positive at $x=(4/3)^3=64/27$, so that is the minimum. Here $x^{-1/3}=3/4$, giving $y=2(3/4)^2-3(3/4)+1=-1/8$. Thus $M=(64/27,-1/8)$.

把 $x^{-1/3}$ 当作新变量，配方就能直接读出最小值。

Let $u=x^{-1/3}$, which takes all positive values. Then

The minimum occurs at the permitted value $u=3/4$, giving $x=u^{-3}=64/27$ and $y=-1/8$.

先用 $u=x^{-1/3}$ 求两个横截距。曲线在这两个交点之间位于 $x$ 轴下方，所以面积是积分的相反数。

With $u=x^{-1/3}$, the intercept condition is $(2u-1)(u-1)=0$. Thus $u=1/2$ or $u=1$, corresponding to $x=8$ and $x=1$. For $1<x<8$, $1/2<u<1$ and the product is negative. Hence the area is