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CIE 9709 2024 March Paper 12 Q4

A Level / CIE / P1

CIE 9709 2024 March Paper 12 Paper · Question 4

题目

Problem

(a) Prove that

(sin⁡θ+cos⁡θ)2−1cos⁡2θ=2tan⁡θ.\frac{(\sin\theta + \cos\theta)^2 - 1}{\cos^2\theta} = 2\tan\theta.
[3]

(b) Hence solve the equation

(sin⁡θ+cos⁡θ)2−1cos⁡2θ=5tan⁡3θ\frac{(\sin\theta + \cos\theta)^2 - 1}{\cos^2\theta} = 5\tan^3\theta

for −90∘<θ<90∘-90^\circ < \theta < 90^\circ.

[3]
题目中文翻译

(a) 证明

(sin⁡θ+cos⁡θ)2−1cos⁡2θ=2tan⁡θ\frac{(\sin\theta + \cos\theta)^2 - 1}{\cos^2\theta} = 2\tan\theta
[3]

(b) 由此解方程

(sin⁡θ+cos⁡θ)2−1cos⁡2θ=5tan⁡3θ\frac{(\sin\theta + \cos\theta)^2 - 1}{\cos^2\theta} = 5\tan^3\theta

其中 −90∘<θ<90∘-90^\circ < \theta < 90^\circ。

[3]

解答

(a)

解法一

思路

展开

展开分子后，sin⁡2θ+cos⁡2θ\sin^2\theta+\cos^2\theta 与减去的 11 抵消。

答题过程

展开

For cos⁡θ≠0\cos\theta\ne0,

 (sin⁡θ+cos⁡θ)2−1cos⁡2θ= sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ−1cos⁡2θ= 2sin⁡θcos⁡θcos⁡2θ=2tan⁡θ.\begin{align*} &\,\frac{(\sin\theta+\cos\theta)^2-1}{\cos^2\theta}\\ =&\,\frac{\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta-1}{\cos^2\theta}\\ =&\,\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta}=2\tan\theta. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

用 (a) 的结果代换左边。移项后提取正切因子，以保留 tan⁡θ=0\tan\theta=0 这个解。

答题过程

展开

By (a), 2tan⁡θ=5tan⁡3θ2\tan\theta=5\tan^3\theta, so

tan⁡θ(5tan⁡2θ−2)=0.\tan\theta(5\tan^2\theta-2)=0.

Thus tan⁡θ=0\tan\theta=0 or tan⁡θ=±2/5\tan\theta=\pm\sqrt{2/5}. Tangent is one-to-one on the given interval, so the solutions are 0∘0^\circ, −32.3∘-32.3^\circ and 32.3∘32.3^\circ.