题目

Problem

It is given that the coefficient of $x^3$ in the expansion of

(2 + ax)^4(5 - ax)

is 432.

Find the value of the constant $a$ .

[5]

题目中文翻译

已知

(2 + ax)^4(5 - ax)

的展开式中 $x^3$ 的系数为 432。

求常数 $a$ 的值。

[5]

解答

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乘积的三次项来自原展开式的三次项乘 $5$ ，以及二次项乘 $-ax$ 。先分别求这两个系数。

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The $x^3$ and $x^2$ coefficients of $(2+ax)^4$ are $\binom43 2a^3=8a^3$ and $\binom42 2^2a^2=24a^2$ . Thus the coefficient in the product is

5(8a^3)-a(24a^2)=16a^3.

Equating this to $432$ gives $a^3=27$ , hence $a=3$ .