直线 $y = x + 5$ 与曲线 $2x^2 + 3y^2 = k$ 在唯一一点 $P$ 相交。

(a) 求常数 $k$ 的值。

(b) 求 $P$ 的坐标。

用直线方程消去 $y$。恰有一个交点，表示所得二次方程有一个重根。

Substitution gives $2x^2+3(x+5)^2=k$, or $5x^2+30x+75-k=0$. For one real root,

This reduces to $20k=600$, so $k=30$.

也可以配方。把曲线左边沿着直线写成关于 $x$ 的函数，只有在其最低值处才能恰好取到一次。

On the line,

This equals $k$ at just one value of $x$ precisely when $k=30$, the minimum of the quadratic.

代入 (a) 的 $k$，由重根找到横坐标，再用直线算纵坐标。

For $k=30$ the equation is $5(x+3)^2=0$, so $x=-3$. The line gives $y=-3+5=2$. Hence $P=(-3,2)$.