函数 $f$ 和 $g$ 对所有实数 $x$ 定义为

其中 $k$ 是常数。

(a) 已知函数 $gf$ 的值域为 $gf(x) \geq 39$，求 $k$ 的值。

(b) 对于这个 $k$ 的值，确定函数 $fg$ 的值域。

(c) 函数 $h$ 对所有实数 $x$ 定义，且满足 $gh(x) = 35x + 19$。

求 $g^{-1}(x)$ 的表达式，并由此或用其他方法求 $h(x)$ 的表达式。

先算 $g(f(x))$。平方项可以等于零，剩下的常数就是值域下端点。

The composite is

Its minimum is $5k-1$, attained at $x=2/3$. Thus $5k-1=39$ and $k=8$.

值域下端点对应抛物线与水平线相切。令复合函数等于 $39$，用判别式为零确定常数，并检查该值确实是全局最小值。

Expanding the composite gives $gf(x)=45x^2-60x+5k+19$. Its range has lower endpoint $39$, so the equation $gf(x)=39$ has a repeated root:

Therefore

Since the coefficient of $x^2$ is positive, the repeated root $x=2/3$ is the global minimum point, where $gf(x)=39$. Thus this value of $k$ gives exactly the required range.

复合顺序调换后，应把 $g(x)$ 代进 $f$。新平方项仍能取到任意非负值。

For $k=8$,

As $x$ ranges over $\mathbb R$, $(15x-5)^2$ takes all nonnegative values. The range is $[8,\infty)$.

先反解 $y=5x-1$。在 $g(h(x))=35x+19$ 两边应用 $g^{-1}$，就能撤销外层函数。

Solving $y=5x-1$ gives $x=(y+1)/5$, so $g^{-1}(x)=(x+1)/5$. Hence