题目

Problem

A curve has equation $y = 5 + 3x - 2x^2$ and a straight line has equation $y = kx + 13$ , where $k$ is a constant.

Find the set of values of $k$ for which the curve and the line do not meet.

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题目中文翻译

一条曲线的方程为 $y = 5 + 3x - 2x^2$ ，一条直线的方程为 $y = kx + 13$ ，其中 $k$ 是常数。

求使曲线与直线不相交的 $k$ 的取值范围。

[4]

解答

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把两条图像的方程联立，转化成关于 $x$ 的二次方程。没有交点就意味着判别式小于零。

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At any intersection, $5+3x-2x^2=kx+13$ , so $2x^2+(k-3)x+8=0$ . This has no real roots precisely when

(k-3)^2-4(2)(8)<0.

Hence $(k-3)^2<64$ , so $-8<k-3<8$ . The required set is $-5<k<11$ .