题目

Problem

The diagram shows the curve with equation

y = 4(3x + 4)^{\frac{1}{2}} - 2x - 6

for values of $x$ such that $0 \leq x \leq 7$ . The tangent to the curve at the point $P(7, 0)$ meets the $y$ -axis at the point $Q$ . Region $A$ is bounded by the curve and the two axes. Region $B$ is bounded by the curve, the line segment $PQ$ and the $y$ -axis.

(a) Find the area of region $A$ .

[4]

(b) Find the area of region $B$ .

[5]

题目中文翻译

图中显示了方程为

y = 4(3x + 4)^{\frac{1}{2}} - 2x - 6

的曲线，其中 $0 \leq x \leq 7$ 。曲线在点 $P(7, 0)$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $Q$ 。区域 $A$ 由曲线和两条坐标轴围成。区域 $B$ 由曲线、线段 $PQ$ 和 $y$ 轴围成。

(a) 求区域 $A$ 的面积。

[4]

(b) 求区域 $B$ 的面积。

[5]

解答

(a)

解法一

思路

展开

图中的区域 $A$ 是 $x=0$ 到 $x=7$ 的曲线下方面积。第一项积分时要除以内层导数 $3$ 。

答题过程

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The area is

\begin{align*} &\,\int_0^7\Big(4\sqrt{3x+4}-2x-6\Big)\,\mathrm{d}x\\ =&\,\Big[\frac89(3x+4)^{3/2}-x^2-6x\Big]_0^7\\ =&\,\frac89(125-8)-49-42=13. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先求 $P$ 处的切线并找 $Q$ 。区域 $A$ 与 $B$ 拼成由切线和坐标轴围成的直角三角形。

答题过程

展开

The gradient is $6/\sqrt{3x+4}-2$ , so at $x=7$ it is $6/5-2=-4/5$ . The tangent is

y=-\frac45(x-7).

It meets the $y$ -axis at $Q=(0,\frac{28}5)$ . Triangle $OPQ$ has area $\frac12(7)(\frac{28}5)=\frac{98}5$ . Subtracting the area $13$ from (a) gives the area of $B$ as $\frac{33}5$ .

CIE 9709 2025 March Paper 12 Q10

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程