题目
Problem
Functions f and g are defined for all real values of x by
f(x)=4x2−candg(x)=2x+k,
where c and k are positive constants. It is given that g−1(3k+1)=c.
(a) Show that gf(x)=8x2−k−1.
[4]
(b) The curve with equation y=8x2−k−1 is transformed to the curve with equation y=h(x) by the following sequence of transformations.
Translation of (23)
Stretch in the y-direction by scale factor k
Reflection in the x-axis
Find an expression for h(x) in terms of x and k.
[3]
(c) The range of h is given by h(x)≤15.
Find the values of c and k.
[3]
题目中文翻译
函数 f 和 g 对所有实数 x 定义为
f(x)=4x2−c和g(x)=2x+k
其中 c 和 k 是正常数。已知 g−1(3k+1)=c。
(a) 证明 gf(x)=8x2−k−1。
[4]
(b) 方程为 y=8x2−k−1 的曲线经过以下一系列变换，变换为方程为 y=h(x) 的曲线。
平移 (23)
在 y 方向上按比例因子 k 拉伸
关于 x 轴反射
求用 x 和 k 表示的 h(x) 表达式。
[3]
(c) h 的值域为 h(x)≤15。
求 c 和 k 的值。
[3]
解答
(a)
解法一
思路
展开
用反函数的关系把 c 和 k 联系起来。再将 f(x) 代入 g 并消去 c。
答题过程
展开
Since g is invertible on R, g−1(3k+1)=c implies g(c)=3k+1. Thus 2c+k=3k+1, so 2c=2k+1. Therefore
gf(x)=2(4x2−c)+k=8x2−(2k+1)+k=8x2−k−1.
(b)
解法一
思路
展开
先把 x 替换为 x−2 并把函数值加 3。随后把整个纵坐标乘 k，最后取负。
答题过程
展开
The translation gives y=8(x−2)2−k+2. The stretch multiplies this by k, and the reflection changes the sign. Thus
h(x)=−k(8(x−2)2−k+2)=−8k(x−2)2+k2−2k.
(c)
解法一
思路
展开
因为 k>0，二次项的系数为负。题给值域的上端点就是顶点的纵坐标。
答题过程
展开
The maximum occurs at x=2, where h(2)=k2−2k. Hence
k2−2k=15⟹(k−5)(k+3)=0.
Since k>0, k=5. From 2c=2k+1 in (a), c=211.
