图中显示了方程为 $y = 2x^2 - \frac{5}{x} + 3$ 的曲线。该曲线在点 $P(1, 0)$ 处与 $x$ 轴相交，且 $M$ 是一个极小点。

(a) 求曲线在 $P$ 点处的斜率。

(b) 求 $M$ 的坐标。每个坐标都精确到 3 位有效数字。

把分式改写成负指数再求导。点 $P$ 的横坐标为 $1$。

For $x\ne0$, $y'=4x+5/x^2$. Hence the gradient at $P$ is $4+5=9$.

驻点处导数为零。先求精确的横坐标，再用驻点关系简化纵坐标并舍入。

Setting $4x+5/x^2=0$ gives $x^3=-5/4$, so the real root is $x=-\sqrt[3]{5/4}$. At this root, $5=-4x^3$, so

The second derivative $4-10/x^3$ is positive at this negative root, confirming a minimum. To three significant figures, $M=(-1.08,9.96)$.