题目

Problem

(a) Find the complete expansion of $\left(2x - \frac{3}{x}\right)^4$ .

[4]

(b) Hence determine the coefficient of $x^2$ in the expansion of $(x^2 + 5)\left(2x - \frac{3}{x}\right)^4$ .

[2]

题目中文翻译

(a) 求 $\left(2x - \frac{3}{x}\right)^4$ 的完整展开式。

[4]

(b) 由此确定 $(x^2 + 5)\left(2x - \frac{3}{x}\right)^4$ 的展开式中 $x^2$ 的系数。

[2]

解答

展开

二项式总共五项。每换一个因子为 $-3/x$ ，幂次下降 $2$ ，符号也随所选个数的奇偶变化。

展开

Using the binomial theorem,

\begin{align*} &\,\Big(2x-\frac3x\Big)^4\\ =&\,(2x)^4+4(2x)^3\Big(-\frac3x\Big)\\ &\,+6(2x)^2\Big(-\frac3x\Big)^2\\ &\,+4(2x)\Big(-\frac3x\Big)^3+\Big(-\frac3x\Big)^4\\ =&\,16x^4-96x^2+216-216x^{-2}+81x^{-4}. \end{align*}

展开

利用 (a)，只选能产生 $x^2$ 的两组乘积。

展开

The terms contributing to $x^2$ are $x^2(216)$ and $5(-96x^2)$ . The coefficient is $216-480=-264$ .