一个等比数列的第二项为 $-120$，其无穷和为 160。

(a) 求公比。

(b) 现在去掉该数列的前九项。

求剩余项的无穷和。

用无穷和公式把首项写成公比的函数，再代入第二项。无穷和存在要求 $|r|<1$。

Let the first term be $a$ and the common ratio be $r$. Then $ar=-120$ and $a/(1-r)=160$, so $a=160(1-r)$. Substituting gives

Only $r=-\frac12$ satisfies $|r|<1$.

把原无穷和减去前九项的和。两项用同一个精确公比，化简时能消去相同的部分。

The first term is $a=160(1+\frac12)=240$. The first nine terms sum to

Subtracting from $160$ gives $160(-\frac12)^9=-\frac5{16}$.

剩下的项本身仍是等比数列。先算第十项，作为新数列的首项。

The tenth term is $240(-\frac12)^9=-\frac{15}{32}$. The new progression has the same ratio $-\frac12$, so its sum to infinity is