图像 $y=ax^2+bx+c$ 的顶点为 $(3,-5)$，与 $y$ 轴交于 $(0,31)$。

(a) 求常数 $a$、$b$ 和 $c$ 的值。

(b) 将该图像按向量 $\begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix}$ 平移。

求平移后图像的方程。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用顶点式直接代入顶点坐标，再用纵轴截距确定二次项系数。

The vertex form is $y=a(x-3)^2-5$. Since $y=31$ at $x=0$, we have $9a-5=31$, giving $a=4$. Expanding gives $y=4x^2-24x+31$, so $(a,b,c)=(4,-24,31)$.

也可以把顶点当成驻点，结合两个已知点建立三个关于系数的方程。

The intercept gives $c=31$. The derivative $2ax+b$ vanishes at $x=3$, so $6a+b=0$. The vertex lies on the curve, so $9a+3b+31=-5$. Substituting $b=-6a$ gives $-9a=-36$. Hence $a=4$, $b=-24$ and $c=31$.

平移把顶点向左移 $2$、向上移 $7$，而开口形状不变。

The new vertex is $(3-2,-5+7)=(1,2)$. The coefficient of the squared term is unchanged, so the new equation is $y=4(x-1)^2+2$.