一条曲线的方程满足 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=6x^2-\frac4{x^3}$。曲线在 $\big(-1,\frac92\big)$ 处有一个驻点。

(a) 判断驻点 $\big(-1,\frac92\big)$ 的性质。

(b) 求曲线的方程。

(c) 证明这条曲线没有其他驻点。

(d) 点 $A$ 沿曲线运动，且 $A$ 的 $y$ 坐标以每秒 $5$ 个单位的速率增加。

求在 $x=1$ 处 $A$ 的 $x$ 坐标的增加速率。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

把已知横坐标代入二阶导数，按符号判断驻点性质。

At $x=-1$, the second derivative is $6(-1)^2-4/(-1)^3=10>0$. The given stationary point is a local minimum.

先积分求一阶导数，用驻点斜率为零确定第一个常数。再积分并用已知点确定第二个常数。

On the branch through $x=-1$, integration gives $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x^3+2/x^2+C$. The derivative at $-1$ is $-2+2+C=0$, so $C=0$. A second integration gives

At $x=-1$, $9/2=1/2+2+D$, so $D=2$. The branch through the given point has equation $y=x^4/2-2/x+2$ for $x<0$.