一个圆的方程为 $x^2+y^2+6x-2y-26=0$。

(a) 求圆心的坐标和半径。由此求圆上最低点的坐标。

(b) 求常数 $k$ 的取值集合，使方程为 $y=kx-5$ 的直线与圆交于两个不同的点。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

对两个坐标分别配方。最低点与圆心有相同的横坐标，纵坐标少一个半径。

Completing the squares gives $(x+3)^2+(y-1)^2=36$. The centre is $(-3,1)$ and the radius is $6$. The lowest point is $(-3,1-6)=(-3,-5)$.

代入直线方程得到关于 $x$ 的二次式。两个不同交点要求判别式严格大于零。

Substituting $y=kx-5$ in the circle gives $(x+3)^2+(kx-6)^2=36$, or

The discriminant is $(6-12k)^2-36(1+k^2)=36k(3k-4)$. It is positive exactly when $k<0$ or $k>4/3$. At the excluded endpoints the line is tangent.

也可比较圆心到直线的垂直距离和半径。距离严格小于半径时有两个不同的交点。

The perpendicular distance from $(-3,1)$ to $kx-y-5=0$ is $|3k+6|/\sqrt{k^2+1}$. Requiring this to be less than $6$ and squaring gives

Thus $k<0$ or $k>4/3$.