函数 $\mathrm{f}$ 和 $\mathrm{g}$ 定义如下：

(a) 图中所示为 $y=\mathrm{f}(x)$ 的部分图像。

写出 $\mathrm{f}^{-1}$ 的定义域。

(b) 求 $\mathrm{f}^{-1}(x)$ 的表达式。

(c) 求 $\mathrm{gf}^{-1}(3)$。

(d) 解释为什么无法求得 $\mathrm{g}^{-1}(x)$。

(e) 证明 $1+\frac2{2x-1}$ 可以表示为 $\frac{2x+1}{2x-1}$。由此求曲线 $y=\mathrm{f}(x)$ 在 $x=1$ 处的切线与 $x$ 轴、$y$ 轴围成的三角形的面积。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

反函数的定义域是原函数的值域。图中两支分别位于水平渐近线的上下。

The original function takes every real value except $1$. Its graph approaches $y=1$ from either side and the term $2/(2x-1)$ takes every nonzero real value. Thus the domain of $\mathrm f^{-1}$ is $\mathbb R\setminus\{1\}$.

令函数值为 $y$，清除分母后解出输入。

From $y(2x-1)=2x+1$, we obtain $2x(y-1)=y+1$. Thus

先计算内层反函数，再把结果代入 $\mathrm g$。

We have $\mathrm f^{-1}(3)=4/(2(2))=1$, so $\mathrm{gf}^{-1}(3)=\mathrm g(1)=5$.

检查原定义域中能否找出两个不同输入，它们有同一个平方。

The function $\mathrm g$ is not one-to-one on $\mathbb R$. For example, $\mathrm g(-1)=\mathrm g(1)=5$. Therefore it has no inverse function on the stated domain.

先通分验证恒等式。再用改写后的函数求导，从切线方程找两个轴截距。

For $x\ne1/2$,

Thus $\mathrm f'(x)=-4(2x-1)^{-2}$. At $x=1$, the height is $3$ and the gradient is $-4$, so the tangent is $y-3=-4(x-1)$, or $y=7-4x$. Its intercepts are $(7/4,0)$ and $(0,7)$, and the triangle has area $\tfrac12(7/4)(7)=49/8$.