一条曲线的方程为 $y=4x^2-kx+\frac12k^2$，一条直线的方程为 $y=x-a$，其中 $k$ 和 $a$ 为常数。

(a) 已知曲线与直线相交于 $x$ 坐标分别为 $0$ 和 $\frac34$ 的两点，求 $k$ 和 $a$ 的值。

(b) 改为已知 $a=-\frac72$，求使直线与曲线相切的 $k$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先代入横坐标 $0$，令交点方程的常数项为零。再代入另一个横坐标求 $k$。

The intersection equation is

At $x=0$, it gives $k^2/2+a=0$. At $x=3/4$, we then have $4(3/4)^2-(k+1)(3/4)=0$, so $k+1=3$ and $k=2$. Thus $a=-2$.

也可以用两个根直接写出二次式的因式分解，再比较系数。

The quadratic for the intersections has leading coefficient $4$ and roots $0$ and $3/4$, so it equals $4x(x-3/4)=4x^2-3x$. Comparing with $4x^2-(k+1)x+k^2/2+a$ gives $k+1=3$ and $k^2/2+a=0$. Hence $k=2$ and $a=-2$.

改用题目指定的新 $a$。相切使交点二次方程的判别式为零。

For $a=-7/2$, the discriminant is

Tangency requires $7k^2-2k-57=(k-3)(7k+19)=0$. Thus $k=3$ or $k=-19/7$.

也可以先令曲线的导数等于直线斜率，确定切点横坐标，再要求纵坐标相同。

At tangency, $8x-k=1$, so $x=(k+1)/8$. At this value the difference between curve and line is

Equating it to zero gives $(k-3)(7k+19)=0$. Both roots make the line pass through the point of matching gradient, so $k=3$ or $-19/7$.