一个圆的方程为 $x^2+y^2+ax+by-12=0$。点 $A(1,1)$ 和 $B(2,-6)$ 在圆上。

(a) 求 $a$ 和 $b$ 的值，并由此求圆心的坐标。

(b) 求圆在点 $A$ 处的切线方程，答案写成 $px+qy=k$ 的形式，其中 $p$、$q$ 和 $k$ 为整数。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

把两个已知点分别代入，得到关于 $a,b$ 的一次方程组。系数减半取反即得圆心坐标。

At $(1,1)$ we get $a+b=10$. At $(2,-6)$ we get $2a-6b=-28$, or $a-3b=-14$. Hence $b=6$ and $a=4$. Completing the squares gives $(x+2)^2+(y+3)^2=25$, so the centre is $(-2,-3)$.

切线垂直于过 $A$ 的半径。先求半径斜率，再取负倒数求切线斜率。

The gradient of the radius from $(-2,-3)$ to $A=(1,1)$ is $(1+3)/(1+2)=4/3$. The tangent is perpendicular to the radius, so its gradient is $-3/4$. Through $A$, it has equation

or $3x+4y=7$.

也可以把经过 $A$ 的上半圆写成函数，在 $A$ 处求导得到切线斜率。

Near $A$, the circle is $y=-3+\sqrt{25-(x+2)^2}$. Its derivative there is

At $x=1$ this is $-3/4$. The tangent through $(1,1)$ is $y-1=-\tfrac34(x-1)$, giving $3x+4y=7$.