函数 $\mathrm{f}$ 定义为 $\mathrm{f}(x)=(4x+2)^{-2}$，其中 $x>-\frac12$。

(a) 求 $\displaystyle\int_1^\infty\mathrm{f}(x)\,\mathrm{d}x$。

一个点沿曲线 $y=\mathrm{f}(x)$ 运动。当它经过点 $A$ 时，其 $y$ 坐标以每秒 $k$ 个单位的速率递减，其 $x$ 坐标以每秒 $k$ 个单位的速率递增。

(b) 求 $A$ 的坐标。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

把无穷上限先换成有限的 $T$。求原函数后再让 $T$ 趋向无穷。

For $T>1$,

The last term tends to zero as $T\to\infty$, so the improper integral equals $1/24$.

横坐标以 $k$ 增加，纵坐标以相同速率减少。用链式法则得到此处曲线斜率为 $-1$。

At $A$, the ratio of the rates is $(-k)/k=-1$. The derivative is $-8(4x+2)^{-3}$, so

This gives $x=0$, and the height is $2^{-2}=1/4$. Thus $A=(0,1/4)$.