点 $P$ 在方程为 $y=mx+c$ 的直线上，其中 $m$ 和 $c$ 为正常数。一条曲线的方程为 $y=-\frac{m}{x}$。曲线上有唯一的点 $P$，使得这条直线是曲线在 $P$ 处的切线。

(a) 求 $P$ 的坐标，其中 $y$ 坐标用 $m$ 表示。

曲线在 $P$ 处的法线与曲线再次相交于点 $Q$。

(b) 用 $m$ 表示 $Q$ 的坐标。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

相切时导数等于 $m$。得到两个候选点后，用直线的截距 $c>0$ 作筛选。

The derivative of $-m/x$ is $m/x^2$. Setting this equal to $m$ and using $m>0$ gives $x=\pm1$. For $x=1$, the height is $-m$, so $c=-m-m=-2m<0$. For $x=-1$, the height is $m$, so $c=m-(-m)=2m>0$. Hence $P=(-1,m)$.

也可由直线与曲线的交点方程出发。相切时该二次方程只有一个重根。

Equating $mx+c=-m/x$ gives $mx^2+cx+m=0$. Its discriminant must be zero, so $c^2=4m^2$. Since both constants are positive, $c=2m$. The repeated root is $x=-c/(2m)=-1$, giving $P=(-1,m)$.

先写过 $P$ 的法线，再与曲线联立。交点二次式中对应 $P$ 的根已知，可直接提取因式。

The normal has gradient $-1/m$, hence $y=m-(x+1)/m$. Equating this to $-m/x$ gives

The root $-1$ gives $P$. The other root is $m^2>0$, with height $-m/m^2=-1/m$. Thus $Q=(m^2,-1/m)$.