函数 $\mathrm{f}$ 定义为 $\mathrm{f}(x)=2x^2-16x+23$，其中 $x<3$。

(a) 将 $\mathrm{f}(x)$ 表示为 $2(x+a)^2+b$ 的形式。

(b) 求 $\mathrm{f}$ 的值域。

(c) 求 $\mathrm{f}^{-1}(x)$ 的表达式。

函数 $\mathrm{g}$ 定义为 $\mathrm{g}(x)=2x+4$，其中 $x<-1$。

(d) 求 $\mathrm{fg}(x)$ 的表达式并化简。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先提出 $2$，再把 $x^2-8x$ 配方。

We have

Thus $a=-4$ and $b=-9$.

定义域要求 $x-4<-1$，所以平方严格大于 $1$。再代回顶点式求值域。

For $x<3$, $(x-4)^2$ takes all values in $(1,\infty)$. Hence the range of $\mathrm f$ is $(-7,\infty)$.

解出 $x-4$。它在原定义域内为负，所以只取负平方根。

From $y=2(x-4)^2-9$, we obtain $x-4=-\sqrt{(y+9)/2}$ on the given branch. Thus

把 $\mathrm g(x)$ 代入 (a) 的顶点式。先检查内层函数的输出是否满足外层的定义域。

For $x<-1$, $\mathrm g(x)=2x+4<2<3$, so the composition is defined. Then