图中所示为方程为 $y=x^{\frac12}+4x^{-\frac12}$ 的曲线。直线 $y=5$ 与曲线交于点 $A(1,5)$ 和 $B(16,5)$。

(a) 求曲线在点 $A$ 处的切线方程。

(b) 计算阴影区域的面积。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

对两个幂分别求导，在 $x=1$ 求切线斜率。

The derivative is $\frac12x^{-1/2}-2x^{-3/2}$. At $x=1$ it equals $-3/2$. The tangent through $A=(1,5)$ is

or $y=-3x/2+13/2$.

以水平直线为上边界，根式曲线为下边界。积分区间由 $A,B$ 的横坐标决定。

The shaded area is

先求曲线下方的面积，再用直线下方的矩形面积减去它。

The area under the curve between $x=1$ and $x=16$ is

The area under $y=5$ is a rectangle of area $5(16-1)=75$. Hence the shaded area is $75-66=9$.