一条曲线满足 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=6x^2-30x+6a$，其中 $a$ 为正常数。该曲线在 $(a,-15)$ 处有一个驻点。

(a) 求 $a$ 的值。

(b) 判断这个驻点的性质。

(c) 求该曲线的方程。

(d) 求该曲线上任何其他驻点的坐标。

驻点的横坐标是 $a$。把它代入导数并令斜率为零，最后用 $a>0$ 筛选。

At the stationary point, $6a^2-30a+6a=6a(a-4)=0$. Since $a>0$, $a=4$.

用二阶导数在 $x=4$ 处的符号判断驻点类型。

We have $y''=12x-30$. At $x=4$, this is $18>0$, so the point is a minimum.

也可以检查一阶导数在驻点两侧的符号。因式分解后能直接看到先减后增。

With $a=4$,

For example, the derivative is $-12$ at $x=3$ and $24$ at $x=5$. More generally it is negative for $1<x<4$ and positive for $x>4$. Hence the curve changes from decreasing to increasing at $x=4$, so the stationary point is a minimum.

把 $a=4$ 代入一阶导数并积分。用驻点的坐标确定积分常数。

Integrating gives

At $(4,-15)$, we have $-15=128-240+96+C=-16+C$. Thus $C=1$, giving $y=2x^3-15x^2+24x+1$.

一阶导数已有一个根 $x=4$。把它因式分解就能找到另一个根，再回代求高度。

The derivative is $6(x-1)(x-4)$. The other stationary point has $x=1$, and its height is $2-15+24+1=12$. Hence it is $(1,12)$.