图中显示圆 $P$，其圆心为 $(0,2)$、半径为 $10$，并显示圆在点 $A(6,10)$ 处的切线。图中还显示第二个圆 $Q$，其圆心为这条切线与 $y$ 轴的交点，半径为 $\frac{5}{2}\sqrt{5}$。

(a) 写出圆 $P$ 的方程。

(b) 求圆 $P$ 在 $A$ 点处的切线方程。

(c) 求圆 $Q$ 的方程，并由此验证两个圆的两个交点的 $y$ 坐标均为 $11$。

(d) 求该切线与圆 $Q$ 的交点坐标，答案用根式形式表示。

把圆心和半径直接代入圆的标准方程。

The equation of $P$ is $x^2+(y-2)^2=100$.

圆心到 $A$ 的半径与切线垂直。先求半径斜率，再取负倒数。

The radius to $A=(6,10)$ has slope $(10-2)/6=4/3$. Therefore the tangent is $y-10=-\frac34(x-6)$, or $y=-\frac34x+\frac{29}2$.

$A$ 在圆的上半部分，可先把上半圆写成显函数，再求导得到切线斜率。

Near $A=(6,10)$, the upper half of $P$ is

Differentiating,

At $x=6$, the gradient is $-6/8=-3/4$. Thus the tangent is $y-10=-3(x-6)/4$, or $y=-3x/4+29/2$.

切线的纵截距就是圆 $Q$ 的圆心。联立两圆时，把方程相减，二次项会消掉。

The centre of $Q$ is $(0,29/2)$ and its squared radius is $125/4$. Hence

Expanding gives $x^2+y^2-29y+179=0$ for $Q$, and $x^2+y^2-4y-96=0$ for $P$. Subtracting gives $-25y+275=0$, so $y=11$. In $P$ this yields $x^2=19$, giving two points with that same height.

把切线代入圆 $Q$。由于切线经过 $Q$ 的圆心，代入后纵坐标的常数项正好抵消。

Substituting $y-29/2=-3x/4$ into $Q$ gives

For $x=2\sqrt5$, the tangent gives $y=(29-3\sqrt5)/2$. For $x=-2\sqrt5$, it gives $y=(29+3\sqrt5)/2$. The two intersections are