图中显示圆心为 $A$、半径为 $8\text{ cm}$ 的圆扇形 $ABC$。该扇形的面积为 $\frac{16}{3}\pi\text{ cm}^2$。点 $D$ 在弧 $BC$ 上。

求弓形 $BCD$ 的周长。

先用扇形面积求圆心角。弓形周长由弧和弦组成，半弦可用等腰三角形中的半角求得。

If $\phi$ is the sector angle, $\frac12(8)^2\phi=16\pi/3$, so $\phi=\pi/6$. The arc length is $8\phi=4\pi/3$. Bisecting the isosceles triangle gives half the chord as $8\sin(\pi/12)$. Thus the perimeter of the segment is

弦长也可用余弦定理求。三角形的两腰都是 $8$，夹角已由扇形面积确定。

The area gives $32\phi=16\pi/3$, hence $\phi=\pi/6$. By the cosine rule,

Adding the chord to the arc gives $\sqrt{128-64\sqrt3}+4\pi/3\approx8.33$ cm.

从 $C$ 向 $AB$ 作垂线。先求这个直角三角形的高和水平投影，再用剩余底边与高求弦长。

The sector area gives $\theta=\pi/6$ and arc length $8\theta=4\pi/3$. Let $E$ be the foot of the perpendicular from $C$ to $AB$. Then

Since $AE<AB=8$, $BE=8-4\sqrt3$. By Pythagoras in triangle $BEC$,

Hence the segment perimeter is $\sqrt{(8-4\sqrt3)^2+16}+4\pi/3\approx8.33$ cm.

等腰三角形的两个底角相等。由圆心角求底角后，正弦定理直接给出弦长。

The sector area gives $\theta=\pi/6$, so the arc length is $4\pi/3$. Since $AB=AC=8$, the angles at $B$ and $C$ are both $(\pi-\pi/6)/2=5\pi/12$. The sine rule gives

Thus the segment perimeter is $8\sin(\pi/6)/\sin(5\pi/12)+4\pi/3\approx8.33$ cm.