题目

Problem

Water is poured into a tank at a constant rate of $500\text{ cm}^3$ per second. The depth of water in the tank, $t$ seconds after filling starts, is $h\text{ cm}$ . When the depth of water in the tank is $h\text{ cm}$ , the volume, $V\text{ cm}^3$ , of water in the tank is given by the formula $V=\frac{4}{3}(25+h)^3-\frac{62500}{3}$ .

(a) Find the rate at which $h$ is increasing at the instant when $h=10\text{ cm}$ .

[3]

(b) At another instant, the rate at which $h$ is increasing is $0.075\text{ cm}$ per second.

Find the value of $V$ at this instant.

[3]

题目中文翻译

水以每秒 $500\text{ cm}^3$ 的恒定速率注入水箱。开始注水 $t$ 秒后，水箱中水的深度为 $h\text{ cm}$ 。当水深为 $h\text{ cm}$ 时，水箱中水的体积 $V\text{ cm}^3$ 由公式 $V=\frac{4}{3}(25+h)^3-\frac{62500}{3}$ 给出。

(a) 求当 $h=10\text{ cm}$ 时， $h$ 的增加速率。

[3]

(b) 在另一个时刻， $h$ 的增加速率为每秒 $0.075\text{ cm}$ 。

求此时 $V$ 的值。

[3]

解答

(a)

解法一

思路

展开

用链式法则联系注水速度和水深的变化率。公式里的常数项求导后为零。

答题过程

展开

We have $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}h}=4(25+h)^2$ . At $h=10$ this is $4900$ . Therefore

\begin{align*} 500=&\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\\ =&\,4900\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}, \end{align*}

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=&\,\frac5{49}\\ \approx&\,0.102\text{ cm s}^{-1}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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仍用链式法则，但这次已知水深的变化率。先求 $25+h$ ，按水深非负取正根，再回代体积。

答题过程

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The chain rule gives

500=4(25+h)^2(0.075),

so $(25+h)^2=5000/3$ . Since $h\ge0$ , take the positive root:

h=\sqrt{\frac{5000}{3}}-25\approx15.824829.

Substituting without rounding the intermediate value,

\begin{align*} V=&\,\frac43\Big(\sqrt{\frac{5000}{3}}\Big)^3-\frac{62500}{3}\\ =&\,69888.50899\ldots\text{ cm}^3. \end{align*}

Thus $V=69900\text{ cm}^3$ to three significant figures.

CIE 9709 2023 June Paper 11 Q9

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程