一条曲线的方程为

其中 $k$ 为正常数。

(a) 求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

(b) 用 $k$ 表示驻点的 $x$ 坐标。

(c) 已知 $k = 10.5$，在曲线上切线与正 $x$ 轴成 $\tan^{-1}(2)$ 角的点处，求曲线的法线方程。

对根式用链式法则。内层 $4x+1$ 的导数是 $4$。

For $x>-1/4$,

令导数为零，先分离平方根。$k>0$ 保证方程右边为正。

The stationary-point condition is $\sqrt{4x+1}=2k$. Thus $4x+1=4k^2$ and $x=k^2-1/4$.

倾角的正切就是切线斜率。令导数等于 $2$ 找切点，再用斜率 $-1/2$ 写法线。

With $k=10.5$, the equation for the tangent slope is

Hence $\sqrt{4x+1}=7$ and $x=12$. The height is $10.5(7)-12+5=66.5$. The normal at $(12,66.5)$ is