题目

Problem

(a) Express $4x^2 - 24x + p$ in the form $a(x + b)^2 + c$ , where $a$ and $b$ are integers and $c$ is to be given in terms of the constant $p$ .

[2]

(b) Hence or otherwise find the set of values of $p$ for which the equation $4x^2 - 24x + p = 0$ has no real roots.

[1]

题目中文翻译

(a) 将 $4x^2 - 24x + p$ 表示成 $a(x + b)^2 + c$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为整数， $c$ 需用常数 $p$ 表示。

[2]

(b) 由此或用其他方法，求使方程 $4x^2 - 24x + p = 0$ 没有实根的 $p$ 的取值范围。

[1]

解答

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提出 $4$ 后，把括号里的 $x^2-6x$ 配方。

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We have

4x^2-24x+p=4\bigl((x-3)^2-9\bigr)+p=4(x-3)^2+p-36.

Thus $a=4$ , $b=-3$ and $c=p-36$ .

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由 (a) 可知最小值。方程无实根时，整条开口向上的抛物线必须位于 $x$ 轴上方。

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The minimum is $p-36$ , attained at $x=3$ . Thus the equation has no real roots exactly when $p-36>0$ , that is, $p>36$ .